样本量与统计功效

在问卷研究中，样本量直接影响统计检验的可靠性。样本太小可能无法发现真实效应，样本太大则浪费资源。本文介绍样本量与统计功效的核心概念。

什么是统计功效？

统计功效（Statistical Power）是指当原假设为假时，正确拒绝原假设的概率。简单来说，就是"发现真实效应的能力"。

$$\text{Power} = 1 - \beta$$

其中 $\beta$ 是第二类错误（假阴性）的概率。

影响样本量的四个因素

计算样本量需要考虑以下四个因素：

1. 效应量（Effect Size）

效应量反映变量间关系的强弱。效应量越大，所需样本量越小。

• Cohen's d（两组均值差异）：$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma}$
• Pearson r（相关）：$r$ 本身即为效应量
• Cohen's f²（回归/方差分析）：$f^2 = \frac{R^2}{1 - R^2}$

2. 显著性水平（α）

显著性水平是第一类错误（假阳性）的概率上限，通常设为 $\alpha = 0.05$。

3. 统计功效（1 - β）

通常希望功效达到 $1 - \beta = 0.80$ 以上。

4. 检验方向

• 双侧检验：不预设方向，更保守，所需样本量更大
• 单侧检验：预设方向，所需样本量较小

常见场景的样本量估算

相关分析

对于 Pearson 相关检验，所需样本量近似为：

$$n \approx \frac{(z_{\alpha/2} + z_{\beta})^2}{\text{arctanh}(r)^2} + 3$$

经验法则（中等效应量 $r = 0.3$，$\alpha = 0.05$，power = 0.80）：

独立样本 t 检验

每组所需样本量（双侧，$\alpha = 0.05$，power = 0.80）：

单因素方差分析

每组所需样本量（3 组，$\alpha = 0.05$，power = 0.80）：

问卷研究的经验法则

对于问卷研究，除了统计功效，还需考虑：

1. 题目数量：样本量至少为题目数的 5-10 倍（因子分析要求）
2. 缺失值：预计 10-20% 缺失率，需提前预留
3. 分组分析：如果需要按人口学变量分组分析，每组至少 30 人
4. 回收率：问卷回收率通常 30-60%，发送量应为目标样本量的 2-3 倍

建议：本科毕设问卷研究，有效样本量至少 200 份，理想 300 份以上。

如何提高统计功效？

如果样本量受限，可以通过以下方式提高功效：

1. 增大效应量：优化题目设计，减少测量误差
2. 使用配对设计：配对检验比独立检验功效更高
3. 减少组内变异：控制额外变量，提高测量精度
4. 使用协变量：协方差分析（ANCOVA）可减少误差方差

常见误区

误区 1：样本量越大越好

样本量过大时，即使微不足道的效应也会达到统计显著。此时需结合效应量判断实际意义。

误区 2：p 值显著 = 有效应

$p$ 值取决于效应量和样本量的共同影响。小样本下 $p > 0.05$ 不代表没有效应，可能是功效不足。

误区 3：事后功效分析可以替代事前规划

事后功效分析受观察效应量影响，可能低估或高估真实功效。应在研究设计阶段进行事前样本量规划。

小结

• 统计功效是发现真实效应的能力，目标 ≥ 0.80
• 样本量取决于效应量、显著性水平、功效和检验方向
• 问卷研究建议有效样本 ≥ 200 份
• 样本量规划应在研究设计阶段完成